기하 증명 입문
'왜 항상 그런가?'를 증명하는 법 — 합동조건·이등변삼각형 성질로 기하 논증의 첫 발을 딛는다.
'삼각형의 내각 합이 180°인 건 알겠어. 그런데 왜?'라는 질문에 답하는 것이 증명이다. 증명을 배우면 '규칙을 외우는 것'에서 '규칙이 왜 성립하는지 설명하는 것'으로 수학의 차원이 달라진다. 법적 논증, 과학 실험 결과 해석, 소프트웨어 버그 추적까지 — 논리적 추론의 구조는 동일하다.
합동(≅) 은 '모양과 크기가 완전히 같은 두 도형'입니다. 복사기로 찍은 것처럼, 한 도형을 들어 올려 다른 도형 위에 놓으면 딱 맞게 겹쳐지는 관계입니다. 문제는 '어떻게 합동임을 확인할 수 있을까?' 입니다. 세 쌍의 변·각을 모두 비교할 필요는 없습니다. 세 가지 조건 중 하나만 만족하면 나머지는 자동으로 결정됩니다.
| 합동조건 | 조건 | 비유 |
|---|---|---|
| SSS | 세 변의 길이가 모두 같다 | 세 막대로 삼각형 집 — 길이만 같으면 모양 결정 |
| SAS | 두 변과 끼인각 이 같다 | 각도를 고정하면 나머지 꼭짓점 위치가 결정 |
| ASA | 한 변과 양쪽 각 이 같다 | 두 레이더 기지 + 각도 → 목표물 위치 유일 |
| RHA/RHS (직각삼각형) | 직각 + 빗변 + 한 변/예각 | 직각을 이미 알고 있으니 조건이 간단해짐 |
증명의 구조는 재판과 같다: ① 주어진 조건(Given) = 증거, ② 추론 단계(각 단계에 근거 명시) = 논리, ③ 결론(Therefore) = 판결. 모든 단계에 '왜 그런가'의 이유가 있어야 한다.
예제 — 이등변삼각형 성질 증명
[명제] AB = AC 이면 ∠B = ∠C 이다.
증명:
① 꼭짓각 ∠A 의 이등분선을 긋고 밑변 BC 와 만나는 점을 M 이라 하자.
② △ABM 과 △ACM 에서
· AB = AC (가정)
· AM = AM (공통변)
· ∠BAM = ∠CAM (각의 이등분)
③ 따라서 SAS 합동: △ABM ≅ △ACM
④ 합동인 두 삼각형의 대응각: ∠B = ∠C □합동과 닮음의 구분: 합동은 '크기까지 같다', 닮음은 '모양만 같고 크기는 다를 수 있다'. 합동은 닮음의 특수한 경우(닮음비 1:1)입니다. SSS·SAS·ASA는 합동 조건이고, AA(두 각이 같음)는 닮음 조건임에 유의합니다.
실생활 응용 — ① 건축 트러스 구조 — 삼각형은 세 변 길이가 정해지면 변형 불가(강성) ② GPS 삼각측량 — 세 기지국 각도로 위치 결정(ASA 원리) ③ 종이 접기 대칭축 — 두 반쪽이 합동 ④ 타일링 — 합동 타일로 바닥 깔기 ⑤ 법 논리 — 같은 조건에서 같은 결론 판결(합동의 논리 구조)
SSS·SAS·ASA 중, 두 변과 그 끼인각 이 같을 때 성립하는 합동조건은?
△ABC 와 △DEF 에서 ∠B = ∠E = 90°, AB = DE, BC = EF 일 때 성립하는 합동조건의 이름은? (알파벳 3자)
이등변삼각형의 두 밑각이 각각 50°, 50° 이면 꼭짓각의 크기(°)는?
명제가 참이면 그 대우 도 항상 참이므로, 기하 증명에서 대우법(귀류법의 사촌) 을 사용할 수 있다.
평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그었을 때 △ABC ≅ △CDA 를 증명하는 데 쓰이는 합동조건은?