집합·명제·논리
'모임'을 수학으로 표현하는 집합, '참·거짓'을 따지는 명제 — 논리적 사고의 언어.
'짝수이면서 소수인 수는?' — 이 질문에 답하려면 '짝수의 모임'과 '소수의 모임'이라는 집합을 다룰 줄 알아야 한다. 명제의 참·거짓을 따지는 능력은 수학 증명뿐 아니라 코딩의 조건문, 법률 해석, 일상 논쟁의 핵심 역량이다.
집합(Set)은 '기준이 분명한 모임'이다. 반 아이들을 운동장에 세워 '축구 좋아하는 사람'을 한 줄로 모으면 집합. 그런데 '키 큰 사람'은 기준이 모호해서 집합이 안 된다. 수학은 기준이 분명한 대상만 집합으로 인정한다.
| 기호 | 뜻 | 예시 |
|---|---|---|
| A ∩ B | 교집합 (양쪽 모두) | 축구·수학 둘 다 좋아하는 아이 |
| A ∪ B | 합집합 (어느 쪽이든) | 축구 또는 수학을 좋아하는 아이 |
| A − B | 차집합 (A에만) | 축구만 좋아하고 수학은 싫은 아이 |
| Aᶜ | 여집합 (A가 아닌 것) | 축구 안 좋아하는 아이 |
명제는 '참 또는 거짓으로 판단 가능한 문장'이다. '삼각형의 내각 합은 180°'는 명제(참). '사랑은 아름답다'는 판단 불가 → 명제 아님. '짝수이면 2의 배수다'는 참인 명제.
명제 p → q의 변형 3가지. 명제가 참일 때 대우는 항상 참이지만 역·이는 별개다.
| 변형 | 형태 | 참 여부 |
|---|---|---|
| 명제 p → q | 짝수 → 2의 배수 | 참 |
| 역 q → p | 2의 배수 → 짝수 | 참 (여기선 일치) |
| 이 ~p → ~q | 짝수 아님 → 2의 배수 아님 | 참 |
| 대우 ~q → ~p | 2의 배수 아님 → 짝수 아님 | 항상 명제와 동치 |
예제: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8}
A ∩ B = {2, 4} (양쪽 모두)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
A − B = {1, 3, 5} (A에만)
|A ∩ B| = 2 (원소 개수)실생활 응용 — ① SNS 팔로우 교집합('내 친구이면서 그의 친구') ② 쿠폰 조건 합집합('회원 또는 3만 원 이상') ③ 채용 기준 교집합('경력 3년 이상이고 영어 가능') ④ 코드 조건문 `if (a && b)` / `if (a || b)` ⑤ 법률 가정-결론 구조('음주운전이면 면허 취소')
A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e}일 때 A ∩ B를 구하시오.
명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 일치한다.
1 이상 20 이하 자연수 중 3의 배수이면서 5의 배수인 수를 모두 구하시오.
'소수이면 홀수이다'는 참인 명제이다.
집합 A의 원소가 n개일 때, A의 부분집합의 개수는?