이차방정식
ax² + bx + c = 0, 근의 공식, 판별식 D = b² - 4ac.
공을 던지면 포물선을 그린다. 이 포물선의 최고점, 착지 지점을 구하는 것이 이차방정식이다. 물리·경제·공학에서 가장 많이 쓰이는 방정식 형태다.
일차방정식이 직선이라면, 이차방정식은 포물선이다. ax² + bx + c = 0에서 x²이 등장하면서 직선이 아닌 곡선을 다루게 된다. 공의 궤적, 매출 최적화, 다리 설계 — 포물선은 자연에 가득하다.
근의 공식: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a. 이 공식 하나로 모든 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
| 판별식 D = b²-4ac | 의미 | 해의 개수 |
|---|---|---|
| D > 0 | 포물선이 x축을 두 점에서 만남 | 서로 다른 실근 2개 |
| D = 0 | 포물선이 x축에 접함 | 중근(같은 근 2개) |
| D < 0 | 포물선이 x축과 안 만남 | 실근 없음(허근 2개) |
풀이 전략 3가지: ① 인수분해가 되면 인수분해 → (x-a)(x-b) = 0. ② 완전제곱식으로 변환. ③ 어떤 경우든 근의 공식은 항상 작동한다. 실전에서는 인수분해를 먼저 시도하고, 안 되면 근의 공식을 쓴다.
이차방정식은 어디 쓰이나? ① 포탄·농구공·분수의 포물선 궤적 계산 ② 자동차 제동거리(속도² 비례) ③ 광학 — 위성 안테나·전조등의 포물면 반사 ④ 경제 — 매출 극대화 가격 찾기 ⑤ 다리·아치 설계(현수선 근사)
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0의 두 근을 작은 값부터 쉼표로 쓰시오.
이차방정식 x² + x + 1 = 0은 서로 다른 두 실근을 가진다.
지면에서 초속 20m/s로 공을 던질 때 t초 후 높이가 h = -5t² + 20t (m)이다. 공이 지면에 떨어지는 시각(초)은? (단, 던지는 순간 t=0 제외)
판별식 D = b² − 4ac가 0일 때 이차방정식은 중근을 가지며, 포물선은 x축에 접한다.