등차수열 기초
2, 5, 8, 11, … — 일정하게 더하는 규칙이 있는 수열, 등차수열의 일반항과 합을 구한다.
버스가 10분 간격으로 온다면, 지금 막 떠났을 때 다음 버스는 10분 후, 그다음은 20분 후. 이처럼 '일정하게 더해지는 수의 줄'이 등차수열이다. 월급이 매년 20만 원씩 오른다면 10년 후 월급은? 계단을 1칸 오를 때마다 높이가 같아진다면 20칸 올랐을 때의 총 높이는? 등차수열의 일반항·합 공식 하나면 모두 계산된다.
에스컬레이터 계단을 상상해 봅시다. 모든 칸의 높이가 같아서, 10번째 칸의 높이는 첫 칸 높이 + 9 × 한 칸 높이로 계산할 수 있습니다. 이처럼 이웃한 항의 차이가 일정한 수열을 등차수열(arithmetic sequence) 이라 하고, 그 일정한 차이를 공차(common difference) d 라고 합니다.
| 기호 | 뜻 | 비유 |
|---|---|---|
| a₁ | 첫째 항 | 1층 계단 높이 |
| d | 공차 (이웃 항의 차) | 한 계단 높이 |
| aₙ = a₁ + (n−1)d | n번째 항의 일반항 | n층까지 올라간 총 높이 |
| Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | 첫째부터 n번째까지의 합 | 가우스 짝짓기 방법 |
가우스의 아이디어: 1 + 2 + … + 100을 구할 때, (1+100) = (2+99) = … = 101. 이런 쌍이 50개 있으니 101 × 50 = 5050. 이것이 등차수열의 합 공식의 원리다.
예제 1 — 일반항
수열: 3, 7, 11, 15, ...
공차 d = 7 − 3 = 4, a₁ = 3
일반항: aₙ = 3 + (n−1)·4 = 4n − 1
10번째 항: a₁₀ = 4·10 − 1 = 39
예제 2 — 합
1 + 2 + 3 + ... + 100
a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
S₁₀₀ = 100·(1 + 100)/2 = 100·101/2 = 5050
비유: (1+100) = (2+99) = ... = 101
이런 쌍이 50개 → 101 × 50 = 5050
예제 3 — 응용
첫째 항 200(만 원), 공차 5(만 원), 12번째 월급?
a₁₂ = 200 + 11·5 = 255(만 원)일반항은 왜 (n−1)d 인가? 첫째 항은 n=1에서 이미 a₁ 그 자체. 그 뒤로 n번째 항까지 가려면 d를 n−1번 더해야 합니다. 계단을 n번째 칸까지 오르려면 1층에서 한 칸씩 n−1번 올라간 것과 같은 구조입니다.
실생활 응용 — ① 월급 인상 단순 누적(매년 +5만 원) ② 극장 좌석(1열 10석, 2열 12석, …) 총 좌석 ③ 계단 오르기 총 높이 ④ 단순이자(단리) 이자 누적 ⑤ 마라톤 훈련량 증가 계획(매일 +0.5km)
수열 5, 8, 11, 14, … 의 공차 d는?
첫째 항 2, 공차 3인 등차수열의 10번째 항 a₁₀ 은?
1 + 2 + 3 + … + 50 을 등차수열의 합 공식으로 구하면?
등차수열에서 이웃한 세 항의 관계는 가운데 항이 양 옆 항의 평균 이다.
어떤 등차수열의 3번째 항이 11, 7번째 항이 27이다. 첫째 항과 공차를 구하면 a₁ = ?