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대칭·합동과 원의 넓이
선대칭·점대칭, 합동 조건, 원주율(π), 원의 넓이 — 도형의 아름다움과 측정의 완성.
#대칭#합동#원주율#원의넓이#π
왜 배우는가
나비 날개는 선대칭, 놀이기구 관람차는 점대칭. 자연은 대칭으로 가득하다. 원의 넓이를 구하는 공식(πr²)은 피자 크기를 비교하는 것부터 행성의 궤도까지, 동그란 세상 어디서나 쓰인다.
대칭은 '접었을 때 딱 맞는 것'입니다. 선대칭은 한 직선(대칭축)을 기준으로 접으면 포개지는 도형입니다. 나비, 하트, 알파벳 A가 대표적이죠. 점대칭은 한 점을 중심으로 180° 돌리면 원래와 겹치는 도형입니다. 알파벳 S, 평행사변형이 대표적입니다.
| 개념 | 설명 | 예시 |
|---|---|---|
| 선대칭 | 대칭축으로 접으면 겹침 | 정삼각형(축 3개), 정사각형(축 4개), 원(축 무한) |
| 점대칭 | 중심점 기준 180° 회전하면 겹침 | 평행사변형, 정육각형, 알파벳 S |
| 합동 | 모양과 크기가 완전히 같은 도형 | 같은 틀로 찍은 쿠키 두 개 |
| 원주율(π) | 원둘레 ÷ 지름 = 항상 약 3.14 | 모든 원에서 동일한 비율 |
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원의 공식:
원주(둘레) = 지름 × π = 2 × 반지름 × π
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × π = πr²
π ≒ 3.14 (초등에서는 3.14로 계산)
예: 반지름 5cm인 원
원주 = 2 × 5 × 3.14 = 31.4cm
넓이 = 5 × 5 × 3.14 = 78.5cm²
피자 크기 비교:
작은 피자(지름 20cm) 넓이 = π × 10² = 314cm²
큰 피자(지름 30cm) 넓이 = π × 15² = 706.5cm²
→ 지름이 1.5배면 넓이는 약 2.25배!왜 πr²인가? 원을 아주 얇은 삼각형 조각으로 잘라 펼치면, 밑변이 원주의 절반(πr), 높이가 반지름(r)인 직사각형에 가까워집니다. 직사각형 넓이 = πr × r = πr².
핵심 정리: 원주 = 2πr, 원의 넓이 = πr². 지름이 2배면 넓이는 4배가 된다(반지름의 '제곱'이기 때문). 합동은 '크기까지 같음', 닮음은 '모양만 같고 크기 다름'.
대칭·원은 어디 쓰이나? ① 나비·하트 모양 색종이 접기(선대칭) ② 바퀴·동전·시계(원) ③ 피자 크기 비교(지름이 클수록 넓이 훨씬 커짐) ④ 우산 살대 대칭 구조 ⑤ 놀이공원 대관람차 회전(점대칭)
실기 드릴 4문항
edit실기 드릴 · 단답형
반지름 7cm인 원의 넓이는? (π = 3.14)
check_circle실기 드릴 · OX
정삼각형은 선대칭이면서 점대칭이다.
edit실기 드릴 · 단답형
지름 20cm 피자와 지름 30cm 피자의 넓이 차이는 몇 배인가? (정확히)
check_circle실기 드릴 · OX
원은 중심을 지나는 어떤 직선에도 선대칭이므로 대칭축이 무한히 많다.