벡터
크기+방향, 벡터 덧셈, 내적, 좌표계 벡터.
바람이 '시속 10km로 북서쪽에서 분다'는 정보는 크기(10km/h)와 방향(북서)을 동시에 담고 있다. 이처럼 크기와 방향을 함께 나타내는 것이 벡터다. 물리학, 컴퓨터 그래픽, AI — 어디서든 벡터를 쓴다.
숫자 5는 크기만 있다(스칼라). '동쪽으로 5km'는 크기와 방향이 있다(벡터). 벡터는 화살표로 표시하며, 화살표의 길이가 크기, 화살표의 방향이 벡터의 방향이다.
| 연산 | 기호 | 의미 | 결과 |
|---|---|---|---|
| 벡터 덧셈 | a + b | 두 화살표를 이어붙이기 | 벡터 |
| 스칼라 곱 | k·a | 화살표를 k배 늘이기 | 벡터 |
| 내적 | a · b | 두 벡터의 '같은 방향 성분' 곱 | 스칼라 |
| 크기 | |a| | 화살표 길이 | 스칼라 |
내적(Dot Product): a · b = |a||b|cos θ. 두 벡터가 같은 방향이면 최대, 수직이면 0, 반대 방향이면 음수. AI에서 문서 유사도를 구할 때 코사인 유사도 = (a·b)/(|a||b|) 를 쓴다.
좌표계 벡터: a = (3, 4)이면 x방향 3, y방향 4인 벡터. 크기 = √(3²+4²) = 5 (피타고라스!). 벡터 덧셈은 각 성분끼리 더한다: (3,4) + (1,2) = (4,6).
실생활 응용 — ① 물리학 힘·속도·가속도(모두 벡터) ② 컴퓨터 그래픽 3D 렌더링(조명 방향·법선 벡터) ③ AI 문서 유사도(코사인 유사도 = a·b / |a||b|) ④ 내비게이션 풍속·해류 보정 ⑤ 머신러닝 워드 임베딩(단어를 벡터로).
벡터 a = (6, 8)의 크기 |a|를 구하시오.
두 벡터가 서로 수직이면 내적 a · b = 0 이다.
강이 동쪽으로 3m/s로 흐르고, 보트가 강에 대해 북쪽으로 4m/s로 나아간다. 지면 기준 실제 속력(m/s)을 구하시오.
a = (2, 1), b = (1, 2)의 내적 a · b 는 5이다.