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미분
순간변화율, f'(x) = lim(h→0), 접선의 기울기, 미분 공식.
#미분#도함수#순간변화율
왜 배우는가
자동차 속도계는 '지금 이 순간' 얼마나 빠른지를 보여준다. 평균 속도가 아니라 순간 속도. 미분은 바로 이 '순간의 변화율'을 구하는 도구다. 물리학, 경제학, AI 모두 미분 위에 세워졌다.
서울에서 부산까지 400km를 4시간에 갔다면 평균 속도는 100km/h다. 하지만 고속도로 진입 순간의 속도는? 그 '찰나'의 속도를 구하는 것이 미분이다. 시간 간격을 무한히 줄여서 0에 가깝게 만드는 것이다.
미분의 정의: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h. '극한까지 줄인 평균변화율'이 곧 '순간변화율'이다.
| 함수 f(x) | 도함수 f'(x) | 의미 |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | 거듭제곱 미분 |
| eˣ | eˣ | 자기 자신이 도함수 |
| sin x | cos x | 삼각함수 미분 |
| ln x | 1/x | 로그 미분 |
미분의 기하학적 의미는 접선의 기울기다. 곡선 위의 한 점에서 접하는 직선의 기울기가 그 점에서의 미분값이다. 기울기가 0인 점이 극대 또는 극소 — 이것이 최적화의 핵심 원리다.
실생활 응용 — ① 자동차 속도계(위치의 도함수 = 속도) ② 주식 변동률·한계비용 ③ 지진 조기경보(진동의 급격한 변화 감지) ④ AI 경사하강법(손실함수의 기울기로 가중치 업데이트) ⑤ 신약 혈중농도 최고점(C'(t)=0 지점).
실기 드릴 4문항
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f(x) = x³ - 2x의 도함수 f'(x)를 구하시오.
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상수함수 f(x) = 7의 도함수는 0이다.
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물체의 위치가 s(t) = t² + 3t (m, t는 초)일 때, t=2초에서의 순간속도(m/s)를 구하시오.
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f'(a) = 0이면 x = a는 반드시 극값이다.