적분
넓이 구하기, 부정적분·정적분, 미적분의 기본정리.
속도를 알면 이동 거리를 구할 수 있을까? 그래프 아래 면적을 구할 수 있을까? 적분은 미분의 반대 — '쪼개서 더한다'. 물리학에서 일(Work), 경제학에서 소비자 잉여, 확률에서 넓이 — 모두 적분이다.
적분은 쪼개서 더하는 것이다. 곡선 아래의 면적을 구하려면? 얇은 직사각형 수천 개로 쪼갠 뒤 면적을 다 더한다. 직사각형을 무한히 얇게 만들면 정확한 면적이 된다. 이것이 적분의 아이디어다.
| 구분 | 부정적분 | 정적분 |
|---|---|---|
| 기호 | ∫f(x)dx | ∫ₐᵇ f(x)dx |
| 결과 | 함수 + C(적분상수) | 숫자(넓이) |
| 의미 | 미분의 역연산 | a부터 b까지의 넓이 |
미적분의 기본정리: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). 여기서 F'(x) = f(x). '미분의 역과정(부정적분)을 구한 뒤 양 끝 값의 차를 구하면 넓이가 된다.' 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 발견한 인류 최고의 정리 중 하나.
기본 적분 공식: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1). ∫eˣdx = eˣ + C. ∫(1/x)dx = ln|x| + C. 미분 공식을 뒤집으면 적분 공식이 된다.
실생활 응용 — ① 속도 그래프 아래 면적 = 이동거리 ② 경제학 소비자·생산자 잉여(수요·공급 곡선 사이 넓이) ③ 물리학 일(Work) = ∫F·dx ④ 확률밀도함수 아래 넓이 = 확률 ⑤ CT·MRI 단면 적분으로 3D 장기 부피 계산.
∫2x dx 를 구하시오 (적분상수 C 포함).
정적분 ∫ₐᵇ f(x)dx 의 결과는 함수가 아닌 하나의 수(넓이)다.
속도 v(t) = 3t² (m/s)로 움직이는 물체가 t=0부터 t=2초까지 이동한 거리(m)를 구하시오.
미적분의 기본정리에 따르면, 미분의 역연산(부정적분)을 알면 넓이(정적분)를 계산할 수 있다.