집합과 삼각함수
합집합·교집합, sin·cos·tan, 단위원.
집합은 수학의 '언어'이고, 삼각함수는 '반복되는 현상'을 다루는 도구다. 소리의 파동, 전기의 교류, 계절의 변화 — 세상의 주기적 현상을 수학으로 표현할 때 삼각함수를 쓴다.
집합은 '조건을 만족하는 대상들의 모임'이다. A = {1,2,3}, B = {2,3,4}일 때, 합집합 A∪B = {1,2,3,4}(둘 중 하나라도), 교집합 A∩B = {2,3}(둘 다), 차집합 A-B = {1}(A에만).
단위원: 반지름 1인 원 위의 점 (cos θ, sin θ). 각도 θ에 따라 점이 원 위를 돌면서 sin과 cos 값이 -1과 1 사이를 오간다. 이것이 삼각함수의 본질이다.
| 삼각함수 | 정의 (직각삼각형) | 단위원 좌표 | 주기 |
|---|---|---|---|
| sin θ | 대변/빗변 | y좌표 | 360° |
| cos θ | 인접변/빗변 | x좌표 | 360° |
| tan θ | 대변/인접변 | y/x = sin/cos | 180° |
핵심 공식: sin²θ + cos²θ = 1 (피타고라스 정리에서 유도). sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. 이 값들은 물리학·공학에서 매일 쓰인다.
실생활 응용 — ① 소리·빛의 파동(y = A sin(ωt)) ② 가정용 전기 교류(AC)의 전압 파형 ③ 위성 GPS 삼각측량 ④ 건축·다리 설계의 각도 계산 ⑤ MRI·CT의 푸리에 변환(모든 신호는 sin·cos의 합).
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}일 때 A ∩ B 를 구하시오.
임의의 각 θ에 대해 sin²θ + cos²θ = 1 이 항상 성립한다.
관람차 반지름 20m, 중심이 지상 25m 높이에 있다. 탑승칸이 수평 기준 각도 30° 위치에 있을 때 지상으로부터 높이(m)를 구하시오.
tan 90°의 값은 0이다.