삼각함수 활용 — 진폭·주기
y = A sin(Bx + C) + D — 진폭·주기·위상이동으로 소리·계절·조석 등 모든 주기 현상을 모델링한다.
기타 줄을 세게 튕길수록(진폭 커짐) 소리가 크고, 빠르게 진동할수록(주기 짧음) 음이 높아진다. 부산 해운대의 밀물·썰물은 약 12.4시간 주기로 오르내리고, 기온은 1년 주기로 반복된다. y = A sin(Bx + C) + D 하나로 이 모든 현상을 수식화할 수 있다. 음향 공학, 교류 전기 공학, 의공학(심전도 신호 분석)까지 삼각함수 모델은 필수 도구다.
기타 줄의 진동을 수식으로 옮겨 봅시다. y축은 줄이 중심선에서 얼마나 벗어났는가(변위), x축은 시간. 가장 단순한 모델은 y = sin(x) 이지만, 현실은 더 다양한 형태가 필요합니다. 네 개의 계수 A, B, C, D 로 진폭·주기·위상이동·수직이동을 조절하면 모든 주기적 현상을 모델링할 수 있습니다: y = A sin(Bx + C) + D.
| 계수 | 이름 | 의미 | 비유 |
|---|---|---|---|
| A (진폭) | amplitude | 최댓값 ~ 중심선 거리 | 기타 줄 튕긴 세기 (= 소리 크기) |
| B (각주파수) | angular freq. | 주기 T = 2π/B | B 2배 → 주기 반으로 → 한 옥타브 위 |
| C (위상) | phase | 좌우 이동 (-C/B 만큼) | 악보에서 쉬고 시작 |
| D (수직이동) | vertical shift | 중심선의 y값 | 연평균 기온처럼 기준선 |
핵심 공식: y = A sin(Bx + C) + D 의 진폭 = |A|, 주기 T = 2π/|B|, 최댓값 = D + |A|, 최솟값 = D − |A|. 코사인도 같은 규칙이 적용된다.
예제 1 — 그래프 분석
y = 3 sin(2x + π/3) − 1
진폭: |A| = 3
주기: T = 2π/B = 2π/2 = π
위상이동: −C/B = −(π/3)/2 = −π/6
(왼쪽으로 π/6 이동)
수직이동: D = −1 (아래로 1)
최댓값: 3 + (−1) = 2
최솟값: −3 + (−1) = −4
예제 2 — 실생활 모델링
어느 도시 월평균 기온 (1월=1, 7월=7):
1월 최저 −5°C, 7월 최고 27°C
진폭 A = (27 − (−5))/2 = 16
중심 D = (27 + (−5))/2 = 11
주기 T = 12 (12개월 = 1년)
→ B = 2π/12 = π/6
위상은 7월이 최고가 되도록 조정
T(x) = 16 sin(π/6·(x − 4)) + 11교류 전기 V(t) = 220√2 sin(2π·60·t) — 가정용 220V / 60Hz 콘센트의 전압이 바로 이 모델입니다. 진폭은 311V(피크), 주기는 1/60초 ≈ 16.67ms. 이것을 제곱해서 평균을 내면 실효값 220V가 나옵니다. 음파·라디오파·심전도 모두 같은 수학 구조입니다.
실생활 응용 — ① 음파 — 주파수=주기의 역수, 진폭=소리 크기 ② 가정용 교류 220V 60Hz ③ 해수 조석 — 약 12.4시간 주기 sin 모델 ④ 연간 일조시간 — 하지·동지 중심 sin 곡선 ⑤ 심전도(ECG) — 주기 함수 분석으로 부정맥 감지
y = 2 sin(x) 의 진폭과 주기를 공백으로 구분해 쓰시오. (주기는 2π 또는 pi 기호 그대로)
y = sin(3x) 의 주기를 π 기호로 나타내면?
y = 4 sin(2x − π/2) + 3 의 최댓값은?
y = A sin(Bx) 에서 B가 2배가 되면 주기는 절반이 된다.
어느 도시의 월평균 기온이 1월 −5°C, 7월 27°C 이다. T(x) = A sin(B(x−D)) + C 형태로 모델링하고 진폭 A를 구하시오.