수열
등차수열·등비수열, 일반항, 급수(Σ).
매달 10만 원씩 저축하면 1년 뒤 얼마? 이것은 등차수열. 매달 투자금이 5%씩 불어나면? 이것은 등비수열. 수열은 '패턴이 있는 수의 나열'이고, 금융·과학·프로그래밍 어디서나 등장한다.
수열은 일정한 규칙으로 나열된 수의 목록이다. 2, 5, 8, 11, ... 처럼 일정한 수(공차 3)를 더해가면 등차수열, 2, 6, 18, 54, ... 처럼 일정한 수(공비 3)를 곱해가면 등비수열이다.
| 구분 | 등차수열 | 등비수열 |
|---|---|---|
| 규칙 | 일정한 수를 더함 | 일정한 수를 곱함 |
| 일반항 | aₙ = a₁ + (n-1)d | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ |
| 합 공식 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1) |
| 실생활 | 월급 인상(정액) | 복리 이자, 세포 분열 |
급수(Σ): 수열의 합을 나타내는 기호. Σ(k=1~n) k = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2. 가우스가 10살 때 1부터 100까지 합을 5050으로 구한 바로 그 공식이다.
무한등비급수: 공비 r의 절댓값이 1보다 작으면 무한히 더해도 유한한 값에 수렴한다. S = a₁/(1-r). 0.333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... = (3/10)/(1-1/10) = 1/3.
실생활 응용 — ① 은행 복리 저축·연금 계산(등비수열) ② 월 정액 적립식 투자 수익 ③ 감가상각 장부가액 ④ 대출 원리금 균등상환 스케줄 ⑤ 방사성 원소 반감기(공비 1/2 등비).
첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 일반항 aₙ을 구하시오.
등비수열에서 공비 r의 절댓값이 1보다 작으면 무한히 더해도 수렴한다.
매년 초 100만 원씩 저축하고 연이율 5% 복리로 운용할 때, 3년 말 시점의 총 적립 원리금(만 원)을 구하시오. 소수 둘째 자리에서 반올림.
1부터 100까지 자연수의 합은 가우스 공식 n(n+1)/2로 5,050이다.