통합 요약노트
Ch.4 눈에 안 보이는 수를 다룬다 (중학교)
음수, 방정식, 함수, 확률, 인수분해, 이차방정식 — 추상적 사고의 시작
이 챕터의 내용
음수와 일차방정식
음수는 '부족한 양'을 표현하는 도구다.
온도계를 보면 0 아래에도 숫자가 있다
영하 10도(-10°C)는 0보다 10 낮다. 은행 잔고 -50,000원은 5만원 빚이다!
방정식을 풀려면 x를 혼자 남기는 것이 목표다. 저울처럼 양쪽에 같은 연산을 적용하면서 한 단계씩 x를 드러낸다.
함수
함수 = 입력을 넣으면 규칙에 따라 출력이 나오는 기계.
넣으면 나오는 기계 그것이 함수다
함수는 자판기와 같다 — 넣으면 규칙대로 나온다
함수 = 입력을 규칙에 따라 출력으로 바꾸는 기계!
좌표평면과 그래프
좌표 = (가로, 세로) 두 숫자로 위치를 정확히 찍는 주소.
가로 몇 칸, 세로 몇 칸 두 숫자로 위치를 찍는다
y = x 직선을 그리면 (1,1), (2,2), (3,3)... 대각선이 된다! 함수를 그림으로 볼 수 있다.
일차함수 y = ax + b → 항상 직선! 기울기 a가 가파름을 결정
피타고라스 정리
직각삼각형이면 짧은 두 변의 제곱 합 = 긴 변의 제곱!
각 변 위에 정사각형을 그리면 넓이의 비밀이 보인다
a² + b² = c² — 직각삼각형의 불변의 법칙
소방관이 벽 높이 3m에 사다리를 세우려 한다 바닥에서 벽까지 거리는 4m
확률과 통계
확률 = 가능한 모든 경우 중 원하는 경우의 비율.
일어날 수 있는 모든 경우를 세어보는 것이 확률의 시작
확률의 첫걸음은 '일어날 수 있는 모든 경우'를 빠짐없이 세는 것이다.
확률 = 원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수. 먼저 전체를 세는 것이 핵심이다.
인수분해
인수분해 = 직사각형의 가로와 세로를 찾는 것!
직사각형의 넓이를 알면 가로와 세로를 역추적한다
인수분해는 직사각형의 넓이를 가로 × 세로로 분해하는 것과 같다
넓이 = $x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6$ → 가로$(x+3)$ × 세로$(x+2)$
연립방정식
방정식 2개를 동시에 만족하는 답을 찾는 것이 연립방정식이다.
편의점에서 삼각김밥과 음료를 샀다 가격이 기억이 안 난다!
삼각김밥 1개 + 음료 2개 = 7,800원 삼각김밥 2개 + 음료 1개 = 4,200원
식 하나로는 삼각김밥과 음료 가격을 따로 알 수 없다. 하지만 식이 2개라면?
이차방정식
x²이 있으면 그래프가 포물선 — 땅(y=0)과 두 번 만난다!
공을 위로 던지면 올라갔다가 다시 내려온다
높이 h = -5t² + 20t (t는 초). 땅에 떨어지는 순간은 h = 0일 때!
-5t² + 20t = 0을 풀면 공이 몇 초 후에 땅에 떨어지는지 알 수 있다. x² 때문에 답이 2개다!
부등식
부등식 = 조건을 만족하는 모든 수를 한 번에 표현하는 도구.
놀이기구 앞 안내판: '키 140cm 이상만 탑승 가능'
x = 140이 아니다! x >= 140이다. 140, 141, 150, 180... 전부 OK!
방정식은 답이 딱 하나. 부등식은 답이 범위로 나온다. 조건을 만족하는 수가 여러 개!
도형의 성질
합동 = 완전히 같은 도형. 닮음 = 비율만 다른 도형. 둘 다 증명할 수 있다!
복사기로 100% 복사하면 합동 50% 축소 복사하면 닮음
합동과 닮음은 도형의 관계를 나타내는 핵심 개념이다. 합동은 완전히 같고, 닮음은 비율만 다르다.
닮음은 모양은 같지만 크기만 다른 관계다. 축소 복사나 확대 복사를 떠올리면 된다. 합동 기호(≅)와 닮음 기호(∽)로 구분한다.
핵심 용어 모음
음수
0보다 작은 수 — 빚, 온도 하강 등을 표현
방정식
미지수를 포함한 등식 — x의 값을 구하는 것
미지수
아직 모르는 값을 나타내는 문자 (x, y)
함수
입력(x)에 대해 하나의 출력(y)이 정해지는 대응 관계
대응
하나의 x에 하나의 y가 짝 지어지는 것
좌표
평면 위의 위치를 (x, y)로 나타낸 것
그래프
함수의 x-y 관계를 평면 위에 그린 그림
피타고라스 정리
직각삼각형에서 a² + b² = c² (빗변의 제곱)
직각삼각형
한 각이 90°인 삼각형
확률
어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것
통계
자료를 모아 정리·분석하여 결론을 이끌어내는 것
인수분해
다항식을 여러 인수의 곱으로 분해하는 것
비교 정리
| 항목 | 항목 | 금액 | 비고 |
|---|---|---|---|
| 재료비 | $-30{,}000$원 | 지출 | |
| 매출 | $+22{,}000$원 | 수입 | |
| 잔고 | $-8{,}000$원 | 적자! |
| 항목 | 분야 | 예시 | 의미 |
|---|---|---|---|
| 은행 | 잔고 -50,000원 | 5만원 빚 | |
| 기온 | 영하 15°C | -15로 표기 | |
| 지하층 | B2층 | -2층 | |
| 게임 | HP -20 | 체력 20 감소 |
| 항목 | 입력 $x$ | 규칙 $f$ | 출력 $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 100원 | $\times 2 + 100$ | 300원 | |
| 200원 | $\times 2 + 100$ | 500원 | |
| 500원 | $\times 2 + 100$ | 1,100원 |
| 항목 | 무게 $x$ (kg) | 계산 | 요금 $f(x)$ (원) |
|---|---|---|---|
| 1 | $3{,}000 + 500 \times 1$ | 3,500 | |
| 2 | $3{,}000 + 500 \times 2$ | 4,000 | |
| 3 | $3{,}000 + 500 \times 3$ | 4,500 | |
| 4 | $3{,}000 + 500 \times 4$ | 5,000 | |
| 5 | $3{,}000 + 500 \times 5$ | 5,500 |
| 항목 | 분야 | 입력(x) | 출력 f(x) |
|---|---|---|---|
| 환율 | 달러 금액 | f(x) = 1,350x (원화) | |
| 택시비 | 주행 거리 | 기본 4,800 + km당 1,000원 | |
| 데이터 | 사용량(GB) | 1GB당 10,000원 | |
| BMI | 키·몸무게 | 체질량지수 계산 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 좌표 활용 |
|---|---|---|---|
| GPS | 서울 위치 | (37.5, 127.0) | |
| 게임 | 캐릭터 위치 | (x, y) 좌표로 이동 | |
| 주가 | 차트 분석 | 시간(x) + 가격(y) | |
| 지도앱 | 네이버·카카오맵 | 모든 지도 = 좌표 기반 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 활용 |
|---|---|---|---|
| 거리 측정 | 두 지점 사이 거리 | √(가로² + 세로²) | |
| TV 크기 | 55인치 TV | 대각선 = 빗변 길이 | |
| 건축 | 직각 확인 | 3-4-5 비율 체크 |
| 항목 | 날씨 | 횟수 | 확률 |
|---|---|---|---|
| 맑은 날 | 7번 | $\dfrac{7}{10} = 70\%$ | |
| 비 온 날 | 3번 | $\dfrac{3}{10} = 30\%$ |
| 항목 | 항목 | 값 | 판정 |
|---|---|---|---|
| 우리 날씨 (비 올 확률) | 30% → \frac{3}{10} = 0.3 | ||
| 기준선 | 40% → \frac{4}{10} = 0.4 | ||
| 비교 | 30\% < 40\% | 소풍 GO! |
| 항목 | 분야 | 예시 | 확률 활용 |
|---|---|---|---|
| 날씨 | 비 올 확률 70% | 우산 챙길지 결정 | |
| A/B 테스트 | 버튼 색상 비교 | 클릭률로 더 나은 선택 |
| 항목 | × | $x$ | $+3$ |
|---|---|---|---|
| $x$ | $x^2$ | $3x$ | |
| $+2$ | $2x$ | $6$ |
| 항목 | 분야 | 예시 | 인수분해 원리 |
|---|---|---|---|
| 암호학 | RSA 암호 | 큰 수의 소인수분해가 어려운 점 이용 | |
| 최적화 | 건물 넓이 설계 | 넓이식을 인수분해 → 최적 비율 도출 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 연립방정식 활용 |
|---|---|---|---|
| 가격 비교 | 사과 3개 + 배 2개 = 8,000원 | 두 가지 가격 동시에 구하기 | |
| 속도 문제 | 강물 속 배의 속도 | 배 속도 + 물살 속도 분리 | |
| 손익 분석 | 매출 = 고정비 + 변동비 | 손익분기점 찾기 | |
| 과학 실험 | 혼합 용액 농도 | 두 용액의 양 계산 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 이차방정식 활용 |
|---|---|---|---|
| 스포츠 | 농구 슛 궤적 | 포물선 y = -5t²+20t | |
| 로켓 | 발사 궤도 | 최고 높이 시점 계산 | |
| 수익 최적화 | 판매량 × 가격 | 이익 최대 가격 도출 | |
| 건축 | 아치 구조물 | 포물선 모양의 다리·터널 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 부등식 표현 |
|---|---|---|---|
| 놀이기구 | 키 140cm 이상 | 키 ≥ 140 | |
| 속도 제한 | 시속 60km 이하 | 속도 ≤ 60 | |
| 성적 | 80점 이상이면 A등급 | 점수 ≥ 80 | |
| 예산 관리 | 지출 ≤ 수입 | 적자 방지 조건 |
| 항목 | 조건 | 확인 요소 | 의미 |
|---|---|---|---|
| SSS | 세 변의 길이 | 세 변이 같으면 무조건 합동 | |
| SAS | 두 변 + 끼인각 | 두 변과 그 사이 각이 같으면 합동 | |
| ASA | 두 각 + 끼인변 | 두 각과 그 사이 변이 같으면 합동 |
| 항목 | 성질 | 정의 | 핵심 |
|---|---|---|---|
| 현(弦) | 원 위 두 점을 잇는 선분 | 지름 = 가장 긴 현 | |
| 접선 | 원과 딱 한 점에서 만나는 직선 | 반지름과 항상 수직 | |
| 원주각 | 원 위 한 점에서 현을 바라보는 각 | 중심각의 절반 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 활용 |
|---|---|---|---|
| 건축 모형 | 실물의 1/100 축소 모형 | 닮음비로 설계 | |
| 지도 | 축척 1:50,000 | 닮음으로 실제 거리 계산 | |
| 사진 확대 | 여권 사진 → 포스터 | 닮음비 유지 | |
| 톱니바퀴 | 맞물리는 기어 | 합동 이빨 설계 |
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