Ch.4 눈에 안 보이는 수를 다룬다 (중학교)
이차방정식
x²이 나오면 답이 2개?
공을 위로 던졌을 때 높이 = -5t² + 20t, 몇 초 후 땅에 떨어지나?
일차방정식은 답이 1개인데, 이차방정식은 왜 2개일까?
x²이 있으면 그래프가 포물선 — 땅(y=0)과 두 번 만난다!
핵심 내용
공을 위로 던지면 올라갔다가 다시 내려온다
높이 h = -5t² + 20t (t는 초). 땅에 떨어지는 순간은 h = 0일 때!
-5t² + 20t = 0을 풀면 공이 몇 초 후에 땅에 떨어지는지 알 수 있다. x² 때문에 답이 2개다!
이차방정식: 최고차항이 x²(또는 t²)인 방정식
이차방정식을 인수분해로 풀어보자. 핵심은 공통인수를 묶어내는 것이다.
공을 위로 던졌을 때, 몇 초 후에 땅에 떨어질까?
높이가 0이 되는 순간 = 땅에 닿는 순간
-5t를 밖으로 빼면 깔끔해진다
t=0은 던진 순간, t=4가 답!
인수분해 → 각 인수를 0으로 → 해를 구한다. 이차방정식의 기본 풀이법!
답이 2개! t = 0(던진 순간)과 t = 4(땅에 떨어진 순간)
인수분해가 안 될 때는? 만능 공식이 있다!
근의 공식: ax² + bx + c = 0 꼴이면 a, b, c만 넣으면 답이 나온다!
근의 공식을 실제로 적용해보자. ax² + bx + c = 0에서 a, b, c 계수를 확인하는 것이 첫 단계다.
인수분해가 안 될 때는 '근의 공식'이라는 만능 열쇠가 있다
ax²+bx+c에서 a, b, c를 찾는다
D>0이면 해가 2개, D=0이면 1개, D<0이면 없음
b 앞의 부호를 바꾸고, ±로 두 경우를 구한다
(5+1)/2 = 3, (5-1)/2 = 2
근의 공식 = 어떤 이차방정식이든 풀 수 있는 만능 도구
판별식 D = b² - 4ac가 핵심! D > 0: 해 2개 | D = 0: 해 1개 | D < 0: 해 없음
공원에 분수대를 설계한다! 물줄기 높이 = -t² + 6t
물이 분수대에서 솟아올라 포물선을 그리며 떨어진다. 높이 h = -t² + 6t (t: 초, h: 미터). 물이 다시 수면(h=0)에 떨어지는 시간은?
-t² + 6t = 0을 풀면 물줄기가 몇 초 동안 공중에 있는지 알 수 있다!
-t² + 6t = 0 공통인수로 묶어보자!
물줄기가 다시 수면에 떨어지는 시간은? (h = -t² + 6t = 0)
x² - 7x + 12 = 0을 풀어보자. 12가 되는 두 수 중 합이 7인 것은?
(x - 3)(x - ?) = 0
(x - 3)(x - 4) = 0이면
x = 3 또는 x = ?
검증: x = 4를 대입하면
4² - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = ?
포물선 = 이차방정식의 그래프. 던지고, 쏘고, 최적화하는 데 쓴다
이차방정식은 '최대·최소'를 찾는 문제에서 반드시 등장한다
x² - 4 = 0의 해는?
이차방정식과 근의 공식을 마스터했습니다!
비교 정리
| 항목 | 분야 | 예시 | 이차방정식 활용 |
|---|---|---|---|
| 스포츠 | 농구 슛 궤적 | 포물선 y = -5t²+20t | |
| 로켓 | 발사 궤도 | 최고 높이 시점 계산 | |
| 수익 최적화 | 판매량 × 가격 | 이익 최대 가격 도출 | |
| 건축 | 아치 구조물 | 포물선 모양의 다리·터널 |
시각 자료
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