Ch.4 눈에 안 보이는 수를 다룬다 (중학교)
인수분해
12 = 3 × 4 수식도 이렇게 분해할 수 있다
x² + 5x + 6이라는 복잡한 식. 이걸 더 간단하게 바꿀 수 없을까?
전개(곱하기)는 쉬운데, 거꾸로 분해하기는 어렵다
인수분해 = 직사각형의 가로와 세로를 찾는 것!
핵심 개념
인수분해
다항식을 여러 인수의 곱으로 분해하는 것
다항식
여러 항의 합으로 이루어진 식
핵심 내용
직사각형의 넓이를 알면 가로와 세로를 역추적한다
인수분해는 직사각형의 넓이를 가로 × 세로로 분해하는 것과 같다
넓이 = $x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6$ → 가로$(x+3)$ × 세로$(x+2)$
x²+5x+6의 넓이를 가진 직사각형 → 가로(x+3), 세로(x+2)를 찾으면 인수분해 완료!
인수분해 = 전개의 역과정. 더해서 5, 곱해서 6이 되는 두 수(2,3)를 찾는다
인수분해는 곱해서 상수항, 더해서 일차항 계수가 되는 두 수를 찾는 과정이다. 단계별로 따라가 보자.
상수항은 6, 일차항의 계수는 5다. 곱해서 6, 더해서 5인 두 수를 찾아야 한다.
2와 3이다! 곱하면 6, 더하면 5가 된다.
x에 각각 2와 3을 더한 두 괄호로 분해한다.
인수분해는 전개의 역과정이다. (x+2)(x+3)을 다시 전개하면 x²+5x+6 ✓ — 곱셈으로 묶으면 0이 되는 x값이 즉시 보인다.
인수분해 = 곱하기의 반대. 넓이 → 가로 × 세로 찾기
정원사가 넓이가 x²+6x+9인 화단을 정사각형으로 바꾸려 한다
직사각형 화단을 정사각형으로 바꾸려면, 넓이 식을 완전제곱식으로 인수분해하면 된다.
정원사가 가진 화단의 넓이 식이다.
가운데 항 6x = 2·3·x, 마지막 항 9 = 3² — 완전제곱식의 꼴이 보인다.
a² + 2ab + b² = (a+b)² 공식을 적용하면 깔끔하게 묶인다.
넓이가 (x+3)²이므로, 정사각형의 한 변의 길이는 x+3이다.
복잡해 보이는 넓이도 인수분해하면 도형의 변의 길이를 바로 알 수 있다.
x²+6x+9 — 이 식을 인수분해하면 정사각형의 한 변을 알 수 있다!
x²+6x+9를 인수분해하면? 곱해서 9, 더해서 6인 두 수를 찾아라!
x²+6x+9를 인수분해하면 정사각형 한 변의 길이는?
넓이가 x²+6x+9인 직사각형 화단을 완전제곱식으로 바꿔 정사각형으로 만들어보자.
화단의 넓이를 나타내는 이차식
6x = 2·3·x, 9 = 3² — a²+2ab+b² 패턴이 보인다 (a=x, b=3)
a²+2ab+b² = (a+b)²이므로 두 인수가 같다
한 변의 길이가 (x+3)인 정사각형 화단 완성!
a²+2ab+b² = (a+b)² — 완전제곱식을 알아보면 인수분해가 한 눈에 보인다.
x²+6x+9 = (x+3)²이다! 한 변이 (x+3)인 완벽한 정사각형 화단 완성
인수분해 덕분에 복잡한 식이 (x+3)² 로 단순해졌다!
인수분해 = 복잡한 것을 단순하게 쪼개는 기술
인수분해는 '분석'의 수학 버전. 복잡한 식을 쪼개면 본질이 보인다
x² + 7x + 12를 인수분해하면?
x² - 9는 (x-3)(x+3)으로 인수분해할 수 있다
x² + 8x + 15를 인수분해하려면 곱해서 15, 더해서 8인 두 수를 찾아라!
x² + 8x + 15를 인수분해하면?
인수분해로 이차방정식을 풀 수 있다! (x+a)(x+b) = 0이면 x = -a 또는 x = -b
(x-2)(x+5) = 0일 때, x의 값은?
x² - 4x + 4는 (x-2)²으로 인수분해할 수 있다
x² - 25는 (x-5)(x+5)로 인수분해할 수 있다
x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0일 때 x = 2 또는 x = ___
x² - 5x + 6 = 0의 또 다른 해를 입력하세요
인수분해의 원리를 이해했습니다!
핵심 용어
인수분해
다항식을 여러 인수의 곱으로 분해하는 것
다항식
여러 항의 합으로 이루어진 식
비교 정리
| 항목 | × | $x$ | $+3$ |
|---|---|---|---|
| $x$ | $x^2$ | $3x$ | |
| $+2$ | $2x$ | $6$ |
| 항목 | 분야 | 예시 | 인수분해 원리 |
|---|---|---|---|
| 암호학 | RSA 암호 | 큰 수의 소인수분해가 어려운 점 이용 | |
| 최적화 | 건물 넓이 설계 | 넓이식을 인수분해 → 최적 비율 도출 |
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