topic★★★★★난이도 · 약 25분

선형대수와 행렬

행렬 곱, 역행렬, 고유값·고유벡터, AI에서의 활용.

#행렬#선형대수#고유값#AI
왜 배우는가

엑셀 스프레드시트가 바로 행렬이다. AI가 이미지를 인식하고, 구글이 검색 순위를 매기고, 넷플릭스가 추천을 하는 것 — 모두 행렬 연산이다. 선형대수는 AI 시대의 필수 교양이다.

행렬은 수를 직사각형 격자에 배열한 것이다. 마치 엑셀의 행과 열처럼. 2x3 행렬이면 2행 3열. 단순한 배열 같지만, 행렬 곱셈을 정의하면 연립방정식, 좌표 변환, 데이터 압축을 한 번에 처리할 수 있는 강력한 도구가 된다.

행렬 곱셈 — 왼쪽 행과 오른쪽 열을 짝지어 곱한 뒤 더한다.
선형 변환 — 행렬이 평면 위의 점들을 회전·확대·전단시킨다.
신경망의 각 층은 행렬곱이다 — 입력 벡터를 새 공간으로 변환.
고유벡터 — 행렬을 곱해도 방향이 유지되고 크기만 λ배 변하는 특별한 벡터.
개념의미활용
행렬 곱행과 열의 내적을 격자로 배치연립방정식 풀기, 좌표 변환
역행렬곱하면 단위행렬이 되는 행렬Ax = b → x = A⁻¹b
고유값Av = λv를 만족하는 λ시스템의 고유 진동수, 안정성 분석
고유벡터방향이 변하지 않는 벡터 v주성분 분석(PCA), 구글 PageRank

AI에서의 행렬: 이미지 한 장 = 픽셀 행렬. 신경망의 가중치 = 거대한 행렬. AI 학습 = 행렬 곱셈의 반복. GPU가 AI에 쓰이는 이유도 행렬 연산에 특화되어 있기 때문이다.

구글 PageRank: 웹페이지 간 링크 구조를 행렬로 표현하고, 그 행렬의 고유벡터를 구하면 '가장 중요한 페이지'가 결정된다. 구글의 탄생 비밀이 바로 선형대수에 있다.

실생활 응용: ① Transformer 어텐션 행렬곱 ② 구글 PageRank(고유벡터) ③ 컴퓨터 그래픽스 3D 회전 ④ 주성분분석(PCA) ⑤ 회귀분석의 정규방정식.

단계별 풀이 — 2×2 행렬식 det([[1,2],[3,4]]) = ad - bc = -2.
실기 드릴 4문항
edit실기 드릴 · 단답형

2×2 행렬 A = 1,2],[3,4의 행렬식 det(A)를 구하시오.

check_circle실기 드릴 · OX

행렬 곱 AB는 항상 BA와 같다.

edit실기 드릴 · 단답형

PCA(주성분분석)에서 데이터 분산이 가장 큰 방향을 찾을 때 사용하는 개념은?

check_circle실기 드릴 · OX

역행렬 A⁻¹이 존재하려면 det(A) ≠ 0이어야 한다.