미분방정식
dy/dx = ky, 인구성장 모델, 1계·2계 ODE.
전염병이 어떻게 퍼지는가? 방사성 물질은 언제 절반으로 줄어드는가? 다리에 실린 하중은 어떻게 분산되는가? 이 모든 질문의 답이 미분방정식에 있다. '변화의 규칙을 알면 미래를 예측할 수 있다.'
미분방정식은 '미지의 함수와 그 도함수의 관계식'이다. 일반 방정식은 숫자(x=3)를 찾지만, 미분방정식은 함수 전체(y = Ce^(kt))를 찾는다. '변화의 속도가 현재 양에 비례한다' → dy/dx = ky → 해: y = Ce^(kt).
지수적 성장/감소 모델: dy/dt = ky. k > 0이면 폭발적 성장(세균 증식, 복리 이자), k < 0이면 감소(방사성 붕괴, 약물 분해). 반감기(Half-life) = ln2/|k|.
| 유형 | 예시 | 현실 모델 |
|---|---|---|
| 1계 ODE | dy/dx = ky | 인구 성장, 냉각 법칙 |
| 2계 ODE | d²y/dx² + ω²y = 0 | 스프링 진동, 전기 회로 |
| 연립 ODE | dx/dt = ax - bxy | 포식자-피식자 모델 |
뉴턴의 냉각 법칙: 뜨거운 커피가 식는 속도는 '커피 온도 - 실온'에 비례한다. dT/dt = -k(T - T_room). 이 미분방정식의 해로 '30분 뒤 커피 온도'를 예측할 수 있다.
실생활 응용: ① SIR 전염병 확산 모델(COVID-19 예측) ② 방사성 탄소 연대측정 ③ RLC 전기 회로 ④ 로켓 궤도 계산 ⑤ 약물 체내 농도 예측(약동학).
미분방정식 dy/dt = 3y, y(0) = 2의 해 y(t)는? (C는 상수 없이 구체적으로)
미분방정식의 해는 숫자가 아니라 함수다.
방사성 물질의 붕괴 상수 k = 0.1/년일 때, 반감기는 약 몇 년인가? (ln2 ≈ 0.693)
2계 ODE d²y/dx² + ω²y = 0은 진동(sin·cos)의 해를 가진다.