위상 입문 — 늘려도 같은 모양
늘리고 구부려도 변하지 않는 성질 — '도넛과 머그컵은 같다.'
커피잔과 도넛은 수학적으로 '같은 모양'이다 — 둘 다 구멍이 하나다. 위상수학은 이 '연속 변형에도 변하지 않는 성질'을 연구한다. TDA(위상 데이터 분석)는 암 유전체 분류에, 다양체 가설은 딥러닝 이론에, 배형 공간 분석은 로봇 경로계획에 쓰인다.
위상동형(homeomorphism)이란 '늘리고 구부리되 찢거나 붙이지 않는' 연속 변형으로 서로 옮길 수 있는 관계. 점토로 도넛을 빚으면 머그컵으로 변형된다 — 둘 다 구멍 1개. 반면 공(구멍 0)과 도넛(구멍 1)은 위상이 다르다. '몇 개의 구멍이 있는가'가 불변량(invariant)이다.
| 개념 | 직관 | 정의 |
|---|---|---|
| 열린집합 | 경계를 포함하지 않는 집합 | 위상공간의 공리적 기본 단위 |
| 연속함수 | 찢지 않고 매끄럽게 변형 | 열린집합의 역상이 열린집합 |
| 위상동형 | 늘려서 같아짐 | 연속 + 역함수도 연속 |
| 호모토피 | 연속적으로 변형 가능 | 두 함수 사이 연속 보간 경로 존재 |
| 오일러 지표 χ | 불변량 — 구멍 수 세기 | χ = V − E + F (다면체) |
| 다양체 | 국소적으로 ℝⁿ처럼 보임 | 지구 표면 = 2차원 다양체 |
오일러 공식 V − E + F = 2 (볼록 다면체): 정육면체는 V=8, E=12, F=6 → 8−12+6 = 2. 축구공(정이십면체+정오각형 패턴)도 χ=2. 도넛(토러스)은 χ=0. 이 숫자가 '구멍 개수'를 결정한다.
TDA(위상 데이터 분석)로의 연결: 고차원 데이터를 점 구름으로 보고, 점들 사이 반경을 늘리면서 '연결 성분이 언제 생기고 사라지는가', '루프(구멍)가 언제 태어나고 죽는가'를 추적한다 → 퍼시스턴트 호몰로지. 2011년 Nature 논문에서 유방암 하위 유형을 기존 통계로 못 찾은 것을 TDA로 발견했다.
실생활 응용: ① TDA로 암 유전체 하위 유형 분류 (Nature 2011) ② 딥러닝 다양체 가설 — 이미지 데이터가 저차원 다양체 위에 놓임 (VAE·GAN 이론 기반) ③ 로봇 배형 공간 분석 → 충돌 없는 경로계획 ④ 뇌 fMRI 연결망의 위상적 불변량 분석 ⑤ 다공성 재료(촉매·연료전지)의 구멍 구조 성능 예측.
구(sphere)와 도넛(torus)은 위상동형이다.
정육면체의 V=8, E=12, F=6일 때 오일러 지표 χ = V − E + F 는?
구(S²)의 오일러 지표 χ는?
TDA(위상 데이터 분석)는 고차원 데이터의 '연결 성분'과 '구멍(루프)'을 감지하는 기법이다.
커피잔과 도넛이 위상수학적으로 같은 이유는 둘 다 ___ 개의 구멍을 갖기 때문이다.