Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)
복소수와 이차곡선
음수의 제곱근이 존재한다면?
GPS 위성 3개까지의 거리가 주어졌다. 내 위치는 세 원의 교점인데, 이 교점이 타원 위에 놓인다!
√(-1)은 실수에 없다. 새로운 수가 필요하다
허수 i를 만들면 모든 방정식이 풀리고, 이차곡선으로 위성 궤도까지 설명된다.
핵심 내용
x² = -1을 풀어보자. 실수 중에는 답이 없다
x² = -1의 답을 찾아보자. 어떤 실수를 제곱해도 양수가 나오므로, 실수 중에는 답이 없다.
허수 i의 정의 — i² = -1이 되는 새로운 수를 발명!
수학자들은 없는 수를 만들어서 문제를 풀었다. i라는 새 수를 정의하면 x² = -1의 답은 x = i가 된다.
수학자들은 없는 수를 '만들어서' 문제를 풀었다. 이것이 허수 i의 탄생!
복소수 z = a + bi는 평면 위의 점 (a, b)로 나타낼 수 있다
실수는 직선 위의 점이었다. 복소수는 평면 위의 점이다! 가로 = 실수, 세로 = 허수
복소수 곱셈 = 회전 + 확대. 전자공학에서 교류 전기를 복소수로 계산한다!
원뿔을 칼로 자르는 각도에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나온다
원뿔을 자르는 각도에 따라 4가지 서로 다른 곡선이 나타난다. 이심률(e)이라는 하나의 숫자로 이 곡선들을 구분할 수 있다.
원뿔을 다양한 각도로 자르면 4가지 곡선이 나온다
원·타원·포물선·쌍곡선 — 전부 원뿔 하나에서 나온 형제들이다
a = b이면 원, a ≠ b이면 타원. 행성 궤도가 바로 타원이다!
GPS 위성 A까지 5km, 위성 B까지 3km. 두 위성에서의 거리 합이 일정한 곡선은?
두 점(위성)으로부터의 거리의 합이 일정한 곡선은 무엇인가?
GPS는 위성들과의 거리를 이용해 타원의 교점으로 내 위치를 찾는다. 위성이 많을수록 정확해진다.
위성 A·B — 거리 합 일정 → 타원 1개 생성
위성 C를 추가하면 타원 2개가 만들어지고, 두 타원의 교점이 내 위치가 된다. 위성 3~4개로 3D 위치를 확정한다.
타원의 수학이 없었다면 GPS 내비게이션도 없었다!
(3 + 2i) + (1 - 5i)를 계산해보자. 실수부끼리, 허수부끼리 더하면?
실수부: 3+1=4, 허수부: 2+(-5)=-3 답: 4 + ?i
i² = -1을 이용해서 (2i)² = ?
4 × i² = 4 × (-1) = ?
복소수와 이차곡선은 첨단 기술의 뼈대
복소수 = 2D 수학, 이차곡선 = 자연의 궤적. 둘 다 현대 기술의 필수품
i² 의 값은?
복소수와 이차곡선의 세계를 정복했습니다!
비교 정리
| 항목 | 곡선 | 이심률 e | 자르는 각도 | 실생활 예시 |
|---|---|---|---|---|
| 원 | e = 0 | 수평으로 자르기 | 시계, 바퀴 | |
| 타원 | 0 < e < 1 | 비스듬히 자르기 | 행성 궤도, GPS | |
| 포물선 | e = 1 | 옆면과 평행하게 | 농구 슛, 위성 안테나 | |
| 쌍곡선 | e > 1 | 수직으로 자르기 | 소닉붐, 냉각탑 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 활용 |
|---|---|---|---|
| GPS | 위성 3개의 타원 교점 | 타원 교차로 위치 계산 | |
| 전자공학 | 교류 회로 분석 | 복소수로 전압·전류 계산 |
시각 자료
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