Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)

순열과 조합

순열(순서 중요)과 조합(순서 무관)의 차이를 이해한다팩토리얼과 조합 공식으로 경우의 수를 구할 수 있다

로또 1등 확률이 814만분의 1인 이유

45개 번호 중 6개를 골라야 한다. 순서는 상관없다. 가능한 조합은 몇 가지일까?

45개 중 6개 고르는 게 왜 그렇게 많은 경우의 수가 되지?

조합 = 순서 무시하고 고르기. 숫자가 커지면 경우의 수가 폭발한다!

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핵심 내용

옷장에 상의 5벌, 하의 4벌이 있다 오늘 입을 조합은 몇 가지?

상의 5가지 중 1개, 하의 4가지 중 1개를 고르면 조합이 몇 가지일까? 각 선택이 독립적일 때 곱의 법칙을 사용한다.

곱의 법칙 — 5 × 4 = 20가지!

각 선택이 독립이면(상의 선택이 하의 선택에 영향을 주지 않으면) 전체 경우의 수는 각각을 곱하면 된다.

곱의 법칙: 독립적인 선택이 여러 개면, 전체 경우의 수 = 각각을 곱한다!

반장, 부반장, 총무를 뽑는다 30명 중 3명을 '순서대로' 뽑는 경우의 수는?

P(n, r) = n!/(n-r)!

30명 중 3명 순열 = 30×29×28 = 24,360가지. 누가 반장이냐에 따라 다른 경우!

팩토리얼이란? - 5! = 5×4×3×2×1 = 120 - 3! = 3×2×1 = 6 - 0! = 1 (약속!) - 느낌표(!)는 '연속 곱셈'이라는 뜻

반 대표 3명을 뽑는다 반장·부반장 구분 없이 그냥 3명! 이때는 순서가 의미 없다

C(n, r) = \binomnr = n!/r!(n-r)!

순열에서 순서 중복(r!)을 나누면 조합! 30C3 = 24,360 ÷ 6 = 4,060가지

순열에서는 A,B,C와 B,A,C가 다른 경우지만, 조합에서는 같은 경우다. 순서를 구분하느냐가 핵심 차이다.

관계 — 조합 = 순열 ÷ r!

순서가 중요하면 순열, 순서가 상관없으면 조합을 사용한다. 조합은 순열에서 순서 중복(r!)을 나눈 것이다.

로또는 45개 번호 중 6개를 고른다 순서는 상관없다 → 조합! C(45, 6) = ?

45개 중 6개를 고르는 조합 C(45,6)은?

파스칼 삼각형: 위의 두 수를 더하면 아래 수가 된다. 이 삼각형이 조합의 값을 모두 담고 있다!

파스칼 삼각형 0행: 1 1행: 1 1 2행: 1 2 1 3행: 1 3 3 1 4행: 1 4 6 4 1 n행의 r번째 수 = C(n,r)!

(a+b)^n = Σ_k=0^n \binomnk a^n-k b^k

이항정리: (a+b)^n을 전개하면 계수가 파스칼 삼각형! (a+b)²=a²+2ab+b²의 1,2,1이 바로 그것

반 친구 8명 중 3명을 뽑아 청소당번을 정하려 한다. 순서 상관없으므로 조합! C(8,3) = ?

8! / (3! × 5!) = (8×7×6) / (3×2×1) = ?

만약 반장, 부반장, 서기를 뽑는다면? (순서 중요 = 순열)

P(8,3) = 8 × 7 × 6 = ?

순열은 '순서가 중요한' 경우, 조합은 '순서 상관없는' 경우의 수

순서가 중요하면 순열(P), 순서가 상관없으면 조합(C). 이 구분이 핵심!

5명 중 2명을 뽑는 조합 C(5,2)는?

순열과 조합의 세계를 정복했습니다!

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항목	분야	예시
확률	로또 번호 6개 뽑기	조합 C(45,6) = 8,145,060
임상시험	실험군·대조군 배정	조합으로 그룹 나누기
비밀번호	4자리 PIN 설정	순열 10⁴ = 10,000가지
AI	특성(feature) 조합 선택	최적 조합 탐색

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다이어그램: math-d301

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