Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)
수열
1+2+3+...+100을 3초 만에?
적금에 매달 10만원씩 넣으면 12개월 후 총액은? 이자 없이도 78만원이 아니라 780만원이 되는 이유!
1부터 100까지 일일이 더하면 몇 분이 걸릴까? 더 빠른 방법은 없나?
수열 = 규칙적인 숫자 나열. 공식 하나면 수천 개도 3초 만에 합산!
핵심 내용
선생님이 벌로 시켰다 1+2+3+...+100을 구해 오라고
다른 아이들이 열심히 더하고 있을 때, 10살 가우스는 3초 만에 답을 냈다. '5050입니다.'
가우스의 트릭: 1+100=101, 2+99=101, ... 50쌍이니까 101×50=5050!
매일 용돈 100원씩 올라가면 100, 200, 300, 400... 이것이 등차수열!
가우스 공식! 1+2+3+...+n을 한 번에 구한다. n=100이면 100×101÷2=5050
가우스의 트릭을 단계별로 따라해 보자. 양 끝에서 짝을 짓는 것이 핵심 아이디어다.
1부터 100까지 더하라는 문제 — 가우스는 30초 만에 풀었다
첫 수와 끝 수를 더하면 101
두 번째와 끝에서 두 번째도 101
100개의 수 → 50쌍
각 쌍의 합 × 쌍의 수 = 5050!
등차수열의 합 = (첫 항 + 끝 항) × 항의 수 ÷ 2. 가우스가 발견한 공식이다
등차수열: 같은 수(공차)를 계속 더하는 수열. 합 = n(첫째+마지막)/2
세균이 매 시간 2배씩 늘어나면 1, 2, 4, 8, 16... 이것이 등비수열!
등비수열의 합 공식. a=1, r=2, n=10이면 1×(2¹⁰-1)/(2-1) = 1023
등차 vs 등비 - 등차: 1, 3, 5, 7, 9 → 공차 +2 (더하기) - 등비: 2, 6, 18, 54 → 공비 ×3 (곱하기) - 등차 = 직선 성장, 등비 = 폭발 성장
매달 10만원씩 12개월 적금을 넣었다 1월에 10만원, 2월에 10만원... 12개월 후 원금 총액은?
매달 10만원 × 12개월, 원금 합계는?
Σ는 그리스 문자 S(Sum)에서 온 것. 1+2+3+...+n을 한 줄로 표현한다
점화식은 다음 항을 만드는 규칙이다. aₙ₊₁ = aₙ + d라는 식은 '다음 수 = 지금 수 + 공차'라는 뜻이다.
예시 — a₁=1, d=2 → 1, 3, 5, 7, 9...
일반항 공식 aₙ = a₁ + (n-1)d를 쓰면 n번째 항을 바로 구할 수 있다. 점화식은 재귀 프로그래밍의 원조라고 할 수 있다!
점화식 = '다음 수를 만드는 규칙'. 재귀 프로그래밍의 원조!
등차수열 2, 5, 8, 11, ..., 29의 합을 구해보자. 첫째항 a=2, 공차 d=3. 항의 개수는?
마지막항 29 = 2 + (n-1)×3 → n = ?
항이 10개이고 첫째항=2, 마지막항=29 S = n(첫째항+마지막항)/2
S = 10 × (2+29) / 2 = ?
수열은 규칙적으로 나열된 수 — 금융부터 자연까지 어디에나 있다
수열의 규칙을 찾으면 미래를 예측할 수 있다 — 이것이 수열의 힘
1+2+3+...+50의 합은?
수열의 세계를 정복했습니다!
비교 정리
| 항목 | 분야 | 예시 | 수열 유형 |
|---|---|---|---|
| 적금·대출 | 매달 같은 금액 저축 | 등차수열 (일정 증가) | |
| 프로그래밍 | 반복문의 인덱스 | 수열 = 배열의 수학 버전 | |
| 자연 | 해바라기·소라 껍데기 | 피보나치 수열 (1,1,2,3,5,8...) | |
| 인구 예측 | 매년 일정 비율 증가 | 등비수열 (배수 증가) |
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