Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)

정규분포와 통계

정규분포가 '평균 근처에 몰리는' 현상임을 이해한다표준편차의 의미를 안다

시험 점수를 모으면 종 모양이 된다

100명의 시험 점수를 그래프로 그리면, 평균 근처가 가장 높고 양쪽이 낮은 종 모양이 된다.

왜 대부분 평균 근처에 모이는 걸까?

자연계의 대부분은 평균 근처에 몰린다. 이것이 정규분포다.

article

핵심 내용

대부분 평균 근처에 모이고 극단은 드물다

평균±1σ 안에 68%가 몰린다. ±2σ면 95%. ±3σ면 99.7%! 극단적인 값은 매우 드물다.

X \sim N(\mu, \sigma^2)

정규분포 = 평균(μ) 중심으로 좌우 대칭인 종 모양. σ가 크면 넓게 퍼지고, 작으면 뾰족해진다

정규분포에서 평균 주변에 데이터가 얼마나 모여 있을까?

\mu ± 1\sigma ⇒ 68\%

평균에서 표준편차 1개 범위 안에 68%가 모인다

\mu ± 2\sigma ⇒ 95\%

2개 범위로 넓히면 95%가 들어온다

\mu ± 3\sigma ⇒ 99.7\%

3시그마 밖은 1000명 중 3명뿐

평균에서 멀수록 드물다 — 이것이 정규분포의 핵심 성질이다

표준편차(σ) = 데이터가 평균에서 얼마나 퍼져있는가의 척도

시험 평균 70점, 표준편차 10점 내 점수는 85점이다

정규분포에서 내 점수가 상위 몇 %인지 z점수로 정확히 알 수 있다!

z = (점수 - 평균) / 표준편차 z = (85 - 70) / 10 = 1.5

z=1.5일 때 상위 몇 %에 해당하는가?

시험 점수 85점 — 잘한 건지 못한 건지는 '평균과의 거리'가 말해준다.

내 점수 = 85, \mu = 70, \sigma = 10

평균 70점, 표준편차 10점인 시험에서 85점을 받았다

z = x - \mu/\sigma

z-점수는 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타낸다

z = 85 - 70/10 = 15/10

내 점수에서 평균을 빼고 표준편차로 나눈다

z = 1.5

평균보다 표준편차 1.5개만큼 위에 위치한다

P(Z ≥ 1.5) ≈ 0.067 ⇒ 상위 6.7\%

정규분포표에서 z=1.5 이상은 약 6.7% — 상위 7% 이내 진입

z-점수는 서로 다른 시험을 같은 잣대로 비교하게 해주는 표준화 도구다.

z=1.5 → 상위 6.7%! 85점은 전체의 상위 7%권에 해당한다

정규분포와 z점수 덕분에 시험 성적이 전체에서 어느 위치인지 정확히 알 수 있다!

정규분포 = 세상 대부분의 데이터가 따르는 종 모양 곡선

키, 성적, IQ — 자연의 데이터는 대부분 정규분포를 따른다

정규분포에서 평균±1σ 안에 포함되는 비율은?

표준편차가 클수록 데이터가 평균 근처에 밀집해 있다

표준편차의 의미를 확인해 보자

데이터 {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}의 평균은?

z-점수를 구해 보자

평균 70점, 표준편차 10점인 시험에서 90점의 z-점수는?

정규분포 곡선은 평균을 기준으로 좌우 대칭이다

정규분포에서 평균±2σ 범위에 전체 데이터의 약 95%가 포함된다

평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포를 ___ 정규분포라 한다

정규분포와 통계의 세계를 이해했습니다!

compare_arrows

비교 정리

항목	분야	예시	정규분포 활용
시험 성적	수능 표준점수·등급	정규분포 기반 산출
AI	신경망 가중치 초기화	정규분포에서 랜덤 추출

퀴즈와 인터랙션으로 더 깊이 학습하세요

play_circle인터랙티브 레슨 시작