Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)
집합과 삼각함수
좋아하는 과목과 잘하는 과목의 겹침은?
좋아하는 과목 = {수학, 과학, 영어}. 잘하는 과목 = {영어, 국어, 음악}. 겹치는 건?
두 그룹의 관계를 어떻게 깔끔하게 정리하지?
집합 = 묶음. 교집합 = 둘 다 해당, 합집합 = 하나라도 해당.
핵심 개념
삼각함수
직각삼각형의 변의 비로 정의되는 sin, cos, tan
집합
공통 성질을 가진 대상의 모임 {1, 2, 3}
핵심 내용
두 원이 겹치는 부분이 교집합이다
친구 두 명의 리스트를 나란히 놓고, 겹치는 항목에 동그라미를 치는 것과 같다
교집합은 두 집합의 공통 원소, 합집합은 모든 원소를 중복 없이 모은 것이다
관람차가 한 바퀴 돌 때 높이가 파도처럼 오르내린다
직각삼각형에서 각도가 정해지면, 변의 비율이 자동으로 결정된다
집합 기호는 '또는(∪)', '그리고(∩)', '아닌 것(ᶜ)'을 한 글자로 표현한다
원 위의 점의 가로좌표 = cos, 세로좌표 = sin. 원을 돌면 파도처럼 반복된다!
sin(x)와 cos(x) 두 파형을 합치면 어떤 멜로디가 탄생할까?
두 파형은 같은 원 위를 도는 쌍둥이인데, 출발점만 다르다
\cos(x) = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)이므로, 두 함수는 위상만 다른 같은 파형이다
두 파형을 더하면 진폭이 바뀐다! 삼각함수 합성으로 새 멜로디를 만들어보자!
sin(x)+cos(x) = √2·sin(x+π/4) 합성 후 진폭은 얼마가 될까?
sin(x)+cos(x)의 최대 진폭은?
두 악기가 동시에 연주하면, 파형이 합쳐져 전혀 새로운 소리가 탄생한다.
sin과 cos 두 파형을 더하면 어떤 모양이 될까?
삼각함수 합성 공식으로 하나의 sin 함수로 통합할 수 있다
a=1, b=1이므로 합성 진폭 R은 √2
위상이 π/4(45°)만큼 이동한 새로운 파형이 된다
진폭이 √2 ≈ 1.41배로 커진 하나의 깨끗한 파형이 완성된다
삼각함수 합성은 여러 파형을 하나로 정리하는 기술 — 음향, 전파, 진동 분석의 기본 도구다.
sin+cos = √2·sin(x+π/4) 두 파형이 합쳐져 더 풍부한 소리가 된다!
삼각함수 합성 덕분에 음악 프로듀서가 다양한 파형을 합쳐 새 멜로디를 만든다!
삼각함수 = 반복되는 파동을 수학으로 표현하는 도구
세상의 파동(소리, 빛, 전파)은 전부 sin/cos으로 표현된다
A = {1,2,3}, B = {2,3,4}일 때 교집합 A∩B는?
A = {1, 2}, B = {2, 3}일 때 합집합 A∪B = {2}이다
단위원에서 삼각함수 값을 구해 보자
$\sin 90°$의 값은?
$\cos 60°$의 값을 구해 보자
$\cos 60°$의 값은?
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$은 모든 각도에서 성립한다
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$이다
$\sin 0° = $ ___
집합과 삼각함수를 이해했습니다!
핵심 용어
삼각함수
직각삼각형의 변의 비로 정의되는 sin, cos, tan
집합
공통 성질을 가진 대상의 모임 {1, 2, 3}
비교 정리
| 항목 | 집합 | 원소 | 설명 |
|---|---|---|---|
| 좋아하는 과목 **A** | \{수학,\,과학,\,영어\} | 내가 좋아하는 과목 | |
| 잘하는 과목 **B** | \{영어,\,국어,\,음악\} | 내가 잘하는 과목 | |
| 교집합 **A ∩ B** | \{영어\} | 두 집합 모두에 포함 | |
| 합집합 **A ∪ B** | \{수학,\,과학,\,영어,\,국어,\,음악\} | 둘 중 하나라도 포함 |
| 항목 | 속성 | \sin(x) | \cos(x) |
|---|---|---|---|
| 시작값 (x=0) | 0 | 1 | |
| 주기 | 2\pi | 2\pi | |
| 진폭 | 1 | 1 | |
| 위상 차이 | 기준 | \sin(x)보다 \frac{\pi}{2} 앞섬 | |
| 최댓값 위치 | x = \frac{\pi}{2} | x = 0 |
| 항목 | 분야 | 예시 | 삼각함수 활용 |
|---|---|---|---|
| 5G 전파 | 전파 = sin 파동 | 주파수와 진폭으로 정보 전달 | |
| 3D 그래픽 | 캐릭터 회전 | sin, cos로 좌표 계산 | |
| 음악 | 소리 = 공기의 파동 | 음높이 = sin의 주파수 | |
| GPS | 위성 신호 | 시간차를 삼각함수로 위치 계산 |
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