Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)
적분
속도 그래프 아래 넓이 = 실제 이동한 거리
차가 가속하면서 달렸다. 매 초마다 속도가 달라지는데, 총 이동 거리는?
속도가 계속 변하면 거리를 어떻게 계산하지?
적분 = 그래프 아래 넓이를 잘게 쪼개서 더하기.
핵심 개념
적분
함수의 넓이(면적)를 구하는 연산, 미분의 역연산
면적
곡선과 x축 사이의 넓이를 정적분으로 계산
핵심 내용
그래프 아래를 잘게 잘라 막대의 넓이를 모두 더한다
1초마다의 이동 거리를 모두 합하면 → 총 이동 거리 125m! 이것이 적분이다.
곡선 아래 넓이를 구하는 공식 — 잘게 쪼갠 직사각형을 모두 더하는 것
y = x 직선 아래의 넓이를 적분으로 정확히 구해보자
0부터 2까지 y=x 아래 넓이를 구한다
x의 역도함수(부정적분) = x²/2
위끝 2와 아래끝 0을 넣고 뺀다
삼각형 넓이 공식으로 검산: ½×2×2 = 2 ✓
적분 = 역미분 → 대입 → 빼기. 이 3단계가 적분 계산의 전부다
미분 = 기울기 찾기 ↔ 적분 = 넓이 합치기. 서로 반대!
수영장에 물을 채운다 유량이 f(t)=2t+1 리터/분으로 계속 늘어난다
수영장에 물을 채우는 유량이 시간에 따라 증가한다. 각 시점의 유량을 표로 정리해보자.
유량이 매 분 증가하므로 단순 곱셈이 아닌 적분 $\int_0^t (2t+1)\,dt = t^2+t$으로 누적량을 구한다. $t^2+t=100$ → $t \approx 9.5$분!
100리터가 필요하다! 유량이 변하는데 적분으로 채우는 시간을 구해야 한다!
∫(2t+1)dt = t²+t t²+t = 100이 되는 t를 구하면?
수영장 100리터를 채우는 데 걸리는 시간은?
수도꼭지에서 나오는 물의 양이 시간마다 달라진다면, 총량은 어떻게 구할까?
시간 t에서의 물 유량(리터/분) — 시간이 갈수록 빨라진다
0부터 T분까지의 총 물 양을 적분으로 구한다
2t+1의 역도함수는 t²+t — 기본 적분 공식 적용
수영장 100리터를 채우는 데 걸리는 시간 T를 구한다
이차방정식을 풀면 약 9.5분 후 100리터가 채워진다
적분은 '변화하는 양의 누적 합'을 구하는 도구 — 일정하지 않은 속도로 쌓이는 것을 정확히 계산한다.
약 9.5분 후 100리터 완성! 적분으로 변화하는 유량의 합을 구했다
적분 덕분에 변화하는 유량에서도 정확히 100리터가 되는 시간을 계산했다!
적분 = '쌓인 양'을 구하는 도구
미분이 '순간'이라면 적분은 '누적'. 쌓인 걸 구할 땐 적분이다
적분이 구하는 것은?
적분은 미분의 역연산이다
극한값을 구해 보자
$\lim_{x \to 2} (x^2 - 1)$의 값은?
미분 공식을 적용해 보자
$f(x) = x^3$을 미분하면?
$f'(a) > 0$이면 $x = a$ 근방에서 함수는 증가한다
$\int 2x \, dx = x^2 + C$ (단, $C$는 적분상수)이다
미분과 적분은 서로 ___ 관계이다
적분의 직관을 잡았습니다!
핵심 용어
적분
함수의 넓이(면적)를 구하는 연산, 미분의 역연산
면적
곡선과 x축 사이의 넓이를 정적분으로 계산
비교 정리
| 항목 | 시간 $t$ (분) | 유량 $f(t)=2t+1$ | 누적량 (L) |
|---|---|---|---|
| $1$ | $2(1)+1 = 3$ L/분 | $\approx 3$ | |
| $3$ | $2(3)+1 = 7$ L/분 | $\approx 12$ | |
| $5$ | $2(5)+1 = 11$ L/분 | $\approx 30$ | |
| $7$ | $2(7)+1 = 15$ L/분 | $\approx 56$ | |
| $9.5$ | $2(9.5)+1 = 20$ L/분 | $\approx 100$ |
| 항목 | 분야 | 예시 | 적분 활용 |
|---|---|---|---|
| 이동 거리 | 속도 그래프 | 곡선 아래 넓이 = 총 거리 | |
| 수영장 | 불규칙한 모양 | 적분으로 넓이 계산 | |
| AI 확률 | 확률분포 | 곡선 아래 넓이 = 확률 | |
| 전기 | 전력 그래프 | 넓이 = 총 에너지 소비량 |
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