Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)

미분

미분이 '순간 변화율'임을 이해한다접선의 기울기로 미분을 시각화할 수 있다

자동차 속도계가 보여주는 것이 미분이다

서울에서 부산까지 3시간에 300km 갔다면 평균 속도는 100km/h. 하지만 지금 이 순간은?

평균이 아니라 '지금 이 순간'의 속도를 어떻게 알지?

미분 = 그래프의 한 점에서 얼마나 가파른지 재는 것.

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핵심 개념

미분

함수의 순간 변화율(기울기)을 구하는 연산

도함수

원래 함수를 미분하여 얻은 새 함수

극값

함수가 극대 또는 극소가 되는 점의 값

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핵심 내용

그래프의 한 점에 자를 대면 그 기울기가 순간 변화율

접선이 가파르면 빠르게 변하는 중, 수평이면 잠시 멈춘 것. 이것이 미분이 알려주는 정보다!

f'(x) = \lim_h \to 0 f(x+h) - f(x)/h

'아주 짧은 구간에서 얼마나 변했나'를 구하는 공식 — 순간 속도를 구하는 것과 같다

x²의 순간 변화율을 직접 구해보자 — 이게 미분의 본질이다

f(x) = x^2

이 함수의 순간 기울기를 구하고 싶다

(x+h)^2 - x^2/h

아주 작은 변화 h를 더해서 기울기를 구한다

2xh + h^2/h = 2x + h

분자를 전개하고 h로 나눈다

h \to 0 ⇒ f'(x) = 2x

h를 0으로 보내면 순간 기울기 = 2x

x²의 미분 = 2x. 'x가 3이면 기울기 6'처럼, 위치마다 기울기가 달라진다

미분 = 접선의 기울기 = 순간 변화율. f'(x)로 표기

롤러코스터 궤도 y=x³-3x 가장 가파른 위험 구간을 찾아야 한다!

기울기가 0인 지점 = 방향 전환점! 그 전후가 가장 위험한 구간이다!

y=x³-3x를 미분하면 y'=3x²-3 y'=0을 풀면 위험 지점을 알 수 있다

y'=3x²-3=0의 해, 즉 기울기가 0이 되는 x값은?

롤러코스터가 방향을 바꾸는 지점 — 그곳이 가장 위험하다.

y = x^3 - 3x

롤러코스터의 높이를 나타내는 3차 함수

y' = 3x^2 - 3

도함수는 각 지점에서의 기울기(속도 변화)를 알려준다

3x^2 - 3 = 0

기울기가 0인 지점이 방향 전환점 — 극값을 찾는 조건

x^2 = 1 ⇒ x = ± 1

x=1과 x=-1에서 트랙의 방향이 바뀐다

x = -1 (극대), x = 1 (극소)

이 두 지점 전후에 안전 장치를 설치해야 한다

미분은 '변화율이 0인 지점'을 찾아내는 도구 — 극대·극소가 실세계에서 전환점이 된다.

x=±1에서 방향 전환! 이 구간 전후에 안전 장치를 설치했다

미분으로 기울기 0인 지점을 찾아 롤러코스터 위험 구간 안전 검사 성공!

미분 = '지금 이 순간의 변화 속도'를 구하는 도구

변화가 있는 곳엔 미분이 있다. 주가, AI, 약학 전부 '순간 기울기'를 쓴다

미분이 알려주는 것은?

f(x) = x²을 미분하면 f'(x) = 2x이다

등차수열의 일반항을 구해 보자

첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열의 제10항은?

등비수열의 합을 구해 보자

첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열의 첫 5항의 합은?

1, 4, 7, 10, ... 은 공차가 3인 등차수열이다

공비가 1보다 큰 무한 등비급수는 항상 수렴한다

등차수열에서 이웃한 두 항의 차를 ___ 라 한다

미분의 직관을 잡았습니다!

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핵심 용어

📐

미분

함수의 순간 변화율(기울기)을 구하는 연산

📈

도함수

원래 함수를 미분하여 얻은 새 함수

🔝

극값

함수가 극대 또는 극소가 되는 점의 값

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비교 정리

항목	분야	예시
주가	그래프의 기울기	상승/하락 속도 파악
가속도	속도의 변화	속도의 미분 = 가속도
AI	경사하강법	미분으로 최저점 찾기
약학	혈중 농도 변화율	복용 시간 결정

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시각 자료

다이어그램: math-d502

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