Ch.5 수학으로 세상을 예측한다 (고등학교)
지수와 로그
세균이 1마리에서 1시간 만에 백만 마리?
세균이 매 분 2배씩 늘어난다. 1→2→4→8→16... 20분 후에는 백만 마리가 넘는다!
폭발적으로 늘어나는 것을 어떻게 표현하지?
지수 = 폭발적 성장. 로그 = 그 반대, 큰 수를 작게.
핵심 개념
지수
같은 수를 반복 곱하는 것을 간단히 표현 (2³=8)
로그
지수의 역연산 — 몇 번 곱해야 하는지 (log₂8=3)
핵심 내용
매번 2배씩 늘어나면 10번만에 1024배가 된다
소리의 크기를 숫자로 표현한다면, 자릿수가 곧 '단위'가 된다.
10을 한 번 곱하면 10 — 속삭이는 정도의 크기
10을 두 번 곱하면 100 — 일상 대화 수준
10을 세 번 곱하면 1,000 — 노래방에서 마이크 잡은 수준
10을 여섯 번 곱하면 백만 — 비행기 이륙 소음 수준
로그란 '10을 몇 번 곱해야 x가 되는가'를 묻는 함수다
로그는 거대한 수를 자릿수로 압축하는 도구 — 지진, 소음, pH 모두 이 원리로 스케일을 표현한다.
log₁₀ 1000 = 3은 '10을 몇 번 곱하면 1000?' 의 답이 3이라는 뜻
10을 몇 번 곱해야 1000이 될까? 이 질문이 바로 로그다
10을 1번 곱하면 10
10을 2번 곱하면 100
10을 3번 곱하면 1000
'10을 몇 번 곱하면 1000?' 의 답 = 3
로그 = '몇 번 곱해야 하는가?'의 답. 지수의 역연산이다
log 1000 = 3 → '10을 3번 곱하면 1000'의 줄임말
바이러스가 1일차 10명부터 매일 2배씩 확산되고 있다
병상이 10,000개뿐이다! 지수 성장으로 몇 일 후에 초과되는지 예측해야 한다!
감염자 수 = 10×2ⁿ (n=경과 일수) 10×2ⁿ ≥ 10,000이 되는 n은?
병상 10,000개가 초과되는 것은 약 며칠 후인가?
바이러스 한 명이 매일 두 명씩 감염시킨다면, 병상이 언제 초과될까?
초기 감염자 10명이 매일 2배씩 증가하는 지수 모델
병상 수 10,000개를 초과하는 시점을 구해야 한다
양변을 10으로 나누면 2의 거듭제곱만 남는다
로그를 취하면 n의 최솟값을 구할 수 있다
10일 후 감염자가 10,240명으로 병상을 초과한다
지수 함수는 초반에는 완만하지만 임계점을 넘으면 폭발적으로 증가한다 — 로그로 '언제'를 예측하는 것이 핵심이다.
10×2¹⁰ = 10,240명! 10일 후 병상이 초과된다
지수함수 덕분에 병상 부족 시점을 미리 예측하고 준비할 수 있다!
지수와 로그는 '폭발적 변화'를 다루는 도구다
지수 = 폭발적 성장, 로그 = 거대한 수를 인간이 다룰 수 있는 크기로 줄이는 마법
2를 10번 곱하면 (2¹⁰)?
log₂8 = 3이다
지수 법칙을 확인해 보자
$2^3 \times 2^4$의 값은?
로그 값을 계산해 보자
$\log_{10} 1000$의 값은?
$(2^3)^2 = 2^6$이다
$\log_a 1 = 0$ (단, $a > 0$, $a \ne 1$)이다
$\log_a MN = \log_a M + \log_a$ ___
지수와 로그의 세계를 이해했습니다!
핵심 용어
지수
같은 수를 반복 곱하는 것을 간단히 표현 (2³=8)
로그
지수의 역연산 — 몇 번 곱해야 하는지 (log₂8=3)
비교 정리
| 항목 | 분야 | 예시 | 핵심 |
|---|---|---|---|
| 복리 | 연 7% 복리 투자 | 72 ÷ 7 ≈ 10년이면 2배 | |
| 바이러스 | 감염자 수 2배 증가 | 지수 성장 모델 | |
| 지진 | 리히터 규모 1 차이 | 에너지 32배 차이 (로그 스케일) | |
| 소리 | 데시벨(dB) | 소리 세기의 로그 |
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